コッククロフト・ウォルトン昇圧回路(2段)の充電過程をゼロから計算してみる(17回目くらいまで)(失敗)

 コッククロフト・ウォルトン昇圧回路(1段)の計算にて、電圧の上昇が等比数列であることを見出して、電圧の最終値を求めることができた。

ryo-blackcomb.hatenablog.com

  今度は(2段)で試した。結論としては、電圧上昇が数列となることを見出すことができなかった。計算間違いかな。

 

f:id:Ryo9508:20200719144732p:plain0.回路は左図のようなものであり、正負電源(±Vo)のスイッチを切り替えてコンデンサダイオード段へ電圧を印加するようになっている。

 なお、コンデンサC1~C4の静電容量は全てCとし、C1~C4の電圧をV1~V4と表記する。 

 

 

 

 

 

 

 

f:id:Ryo9508:20200719150028p:plain1.まず、正電源(上側)にスイッチを切り替ると、順方向電圧が掛かるダイオードD1がONになり、V1=VoとなるまでコンデンサC1が充電される。

 充電量は、Q1=CVo となる。

 また、V1=Voとなる。

 

 

 

 

 

 

2.次に、電源を負電源(下側)に切り替えると、D1には電源電圧とC1の電圧V1=Voを合計した2Voの逆方向電圧が掛かってOFFになり、D2は順方向電圧となってONになる。C1の+極にあった電荷CVoの一部は、C2の充電に使われる(電荷保存則)。

f:id:Ryo9508:20200719150804p:plain このとき成立する式は、

電荷保存則により)
Q1+Q2=CVo・・・(1)

(電源Vo~C1~D2~C2の閉回路の電圧合計は0により)
Vo+(Q1/C)+(-Q2/C)=0・・・(2)

CVo+Q1-Q2=0・・・(2)'

(1)+(2)'
2Q1+CVo=CVo
Q1=0

Q2=CVo-Q1=CVo

また、V2=Voとなる。

 

3.再び電源を正電源(上側)に切り替えると、D1はONになりC1が充電され、D2はOFFになる。C2には電荷CVo及び電圧Voがあり、C3にはまだ電荷も電圧もないため、D3は順方向電圧となってONになり、C2の電荷の一部はC3の充電に使われる。

f:id:Ryo9508:20200719153211p:plain このとき成立する式は、

【C1につき】
Voで充電されるのみであり、Q1=CVo

【C2、C3につき】

電荷保存則により)
Q2+Q3=CVo・・・(1)

(C2~D3~C3の閉回路の電圧合計は0により)
(Q2/C)+(-Q3/C)=0・・・(2)

Q2-Q3=0・・・(2)'

 

(1)+(2)'
2Q2=CVo
Q2=(1/2)CVo

Q3=Q2=(1/2)CVo

また、V2=V3=(1/2)Voとなる。

 

 4.再び電源を負電源(下側)に切り替えると、D2がONとなってC1の電荷の一部でC2が充電される。またD4がONとなってC3の電荷の一部でC4が充電される。

f:id:Ryo9508:20200719155252p:plain このとき成立する式は、

【C1、C2につき】
電荷保存則により)
Q1+Q2=CVo+(1/2)CVo・・・(1)

(Vo~C1~D2~C2の閉回路の電圧合計は0により)
Vo+(Q1/C)+(-Q2/C)=0・・・(2)

CVo+Q1-Q2=0・・・(2)'

(1)+(2)'
CVo+2Q1=(3/2)CVo
Q1=(1/4)CVo

Q2=CVo+Q1=(5/4)CVo

【C3、C4につき】

電荷保存則により)
Q3+Q4=(1/2)CVo・・・(1)

(C3~D4~C4の閉回路の電圧合計は0により)
(Q3/C)+(-Q4/C)=0・・・(2)

Q3-Q4=0・・・(2)'

 (1)+(2)'
2Q3=(1/2)CVo
Q3=(1/4)CVo

Q4=Q3=(1/4)CVo

 また、V3=V4=(1/4)Voとなる。

 

 5.再び電源を正電源(上側)に切り替えると、C1とC3が充電される。

f:id:Ryo9508:20200719163407p:plain このとき成立する式は、

【C1につき】
Voで充電されるのみであり、Q1=CVo

【C2、C3につき】

電荷保存則により)
Q2+Q3=(5/4)CVo+(1/4)CVo・・・(1)

(C2~D3~C3の閉回路の電圧合計は0により)
(Q2/C)+(-Q3/C)=0・・・(2)

Q2-Q3=0・・・(2)'

 

(1)+(2)'
2Q2=(6/4)CVo
Q2=(3/4)CVo

Q3=Q2=(3/4)CVo

また、V2=V3=(3/4)Voとなる。

 

6.再び電源を負電源(下側)に切り替えると、C2とC4が充電される。

f:id:Ryo9508:20200719184737p:plain このとき成立する式は、

【C1、C2につき】
電荷保存則により)
Q1+Q2=CVo+(3/4)CVo・・・(1)

(Vo~C1~D2~C2の閉回路の電圧合計は0により)
Vo+(Q1/C)+(-Q2/C)=0・・・(2)

CVo+Q1-Q2=0・・・(2)'

(1)+(2)'
CVo+2Q1=CVo+(3/4)CVo
Q1=(3/8)CVo

Q2=CVo+Q1=(11/8)CVo

【C3、C4につき】

電荷保存則により)
Q3+Q4=CVo・・・(1)

(C3~D4~C4の閉回路の電圧合計は0により)
(Q3/C)+(-Q4/C)=0・・・(2)

Q3-Q4=0・・・(2)'

 (1)+(2)'
2Q3=CVo
Q3=(1/2)CVo

Q4=Q3=(1/2)CVo

 また、V3=V4=(1/2)Voとなる。

 

7.再び電源を正電源(上側)に切り替えると、C1とC3が充電される。

f:id:Ryo9508:20200719190226p:plain このとき成立する式は、

【C1につき】
Voで充電されるのみであり、Q1=CVo

【C2、C3につき】

電荷保存則により)
Q2+Q3=(11/8)CVo+(1/2)CVo・・・(1)

(C2~D3~C3の閉回路の電圧合計は0により)
(Q2/C)+(-Q3/C)=0・・・(2)

Q2-Q3=0・・・(2)'

 

(1)+(2)'
2Q2=(15/8)CVo
Q2=(15/16)CVo

Q3=Q2=(15/16)CVo

また、V2=V3=(15/16)Voとなる。

 

8.再び電源を負電源(下側)に切り替えると、C2とC4が充電される。

f:id:Ryo9508:20200719191144p:plain このとき成立する式は、

【C1、C2につき】
電荷保存則により)
Q1+Q2=CVo+(15/16)CVo・・・(1)

(Vo~C1~D2~C2の閉回路の電圧合計は0により)
Vo+(Q1/C)+(-Q2/C)=0・・・(2)

CVo+Q1-Q2=0・・・(2)'

(1)+(2)'
CVo+2Q1=CVo+(15/16)CVo
Q1=(15/32)CVo

Q2=CVo+Q1=(47/32)CVo

【C3、C4につき】

電荷保存則により)
Q3+Q4=(15/16)CVo+(1/2)CVo・・・(1)

(C3~D4~C4の閉回路の電圧合計は0により)
(Q3/C)+(-Q4/C)=0・・・(2)

Q3-Q4=0・・・(2)'

 (1)+(2)'
2Q3=(23/16)CVo
Q3=(23/32)CVo

Q4=Q3=(23/32)CVo

 また、V3=V4=(23/32)Voとなる。

 

9.再び電源を正電源(上側)に切り替えると、C1とC3が充電される。

f:id:Ryo9508:20200719194535p:plain このとき成立する式は、

【C1につき】
Voで充電されるのみであり、Q1=CVo

【C2、C3につき】

電荷保存則により)
Q2+Q3=(47/32)CVo+(23/32)CVo・・・(1)

(C2~D3~C3の閉回路の電圧合計は0により)
(Q2/C)+(-Q3/C)=0・・・(2)

Q2-Q3=0・・・(2)'

 

(1)+(2)'
2Q2=(70/32)CVo
Q2=(35/32)CVo

Q3=Q2=(35/32)CVo

また、V2=V3=(35/32)Voとなる。

 

10.再び電源を負電源(下側)に切り替えると、C2とC4が充電される。

f:id:Ryo9508:20200725153140p:plain このとき成立する式は、

【C1、C2につき】
電荷保存則により)
Q1+Q2=CVo+(35/32)CVo・・・(1)

(Vo~C1~D2~C2の閉回路の電圧合計は0により)
Vo+(Q1/C)+(-Q2/C)=0・・・(2)

CVo+Q1-Q2=0・・・(2)'

(1)+(2)'
CVo+2Q1=CVo+(35/32)CVo
Q1=(35/64)CVo

Q2=CVo+Q1=(99/64)CVo

【C3、C4につき】

電荷保存則により)
Q3+Q4=(35/32)CVo+(23/32)CVo・・・(1)

(C3~D4~C4の閉回路の電圧合計は0により)
(Q3/C)+(-Q4/C)=0・・・(2)

Q3-Q4=0・・・(2)'

 (1)+(2)'
2Q3=(58/32)CVo
Q3=(29/32)CVo

Q4=Q3=(29/32)CVo

 また、V3=V4=(29/32)Voとなる。

 

11.再び電源を正電源(上側)に切り替えると、C1とC3が充電される。

f:id:Ryo9508:20200725153547p:plain このとき成立する式は、

【C1につき】
Voで充電されるのみであり、Q1=CVo

【C2、C3につき】

電荷保存則により)
Q2+Q3=(99/64)CVo+(29/32)CVo・・・(1)

(C2~D3~C3の閉回路の電圧合計は0により)
(Q2/C)+(-Q3/C)=0・・・(2)

Q2-Q3=0・・・(2)'

 

(1)+(2)'
2Q2=(157/64)CVo
Q2=(157/128)CVo

Q3=Q2=(157/128)CVo

また、V2=V3=(157/128)Voとなる。

 

12.再び電源を負電源(下側)に切り替えると、C2とC4が充電される。

f:id:Ryo9508:20200725153920p:plain このとき成立する式は、

【C1、C2につき】
電荷保存則により)
Q1+Q2=CVo+(157/128)CVo・・・(1)

(Vo~C1~D2~C2の閉回路の電圧合計は0により)
Vo+(Q1/C)+(-Q2/C)=0・・・(2)

CVo+Q1-Q2=0・・・(2)'

(1)+(2)'
CVo+2Q1=CVo+(157/128)CVo
Q1=(157/256)CVo

Q2=CVo+Q1=(413/256)CVo

【C3、C4につき】

電荷保存則により)
Q3+Q4=(157/128)CVo+(29/32)CVo・・・(1)

(C3~D4~C4の閉回路の電圧合計は0により)
(Q3/C)+(-Q4/C)=0・・・(2)

Q3-Q4=0・・・(2)'

 (1)+(2)'
2Q3=(273/128)CVo
Q3=(273/256)CVo

Q4=Q3=(273/256)CVo

 また、V3=V4=(273/256)Voとなる。

 

13.再び電源を正電源(上側)に切り替えると、C1とC3が充電される。

f:id:Ryo9508:20200725151738p:plain このとき成立する式は、

【C1につき】
Voで充電されるのみであり、Q1=CVo

【C2、C3につき】

電荷保存則により)
Q2+Q3=(413/256)CVo+(273/256)CVo・・・(1)

(C2~D3~C3の閉回路の電圧合計は0により)
(Q2/C)+(-Q3/C)=0・・・(2)

Q2-Q3=0・・・(2)'

 

(1)+(2)'
2Q2=(686/256)CVo
Q2=(343/256)CVo

Q3=Q2=(343/256)CVo

また、V2=V3=(343/256)Voとなる。

 

14.再び電源を負電源(下側)に切り替えると、C2とC4が充電される。

f:id:Ryo9508:20200725152400p:plain このとき成立する式は、

【C1、C2につき】
電荷保存則により)
Q1+Q2=CVo+(343/256)CVo・・・(1)

(Vo~C1~D2~C2の閉回路の電圧合計は0により)
Vo+(Q1/C)+(-Q2/C)=0・・・(2)

CVo+Q1-Q2=0・・・(2)'

(1)+(2)'
CVo+2Q1=CVo+(343/256)CVo
Q1=(343/512)CVo

Q2=CVo+Q1=(855/512)CVo

【C3、C4につき】

電荷保存則により)
Q3+Q4=(343/256)CVo+(273/256)CVo・・・(1)

(C3~D4~C4の閉回路の電圧合計は0により)
(Q3/C)+(-Q4/C)=0・・・(2)

Q3-Q4=0・・・(2)'

 (1)+(2)'
2Q3=(616/256)CVo
Q3=(308/256)CVo=(77/64)CVo

Q4=Q3=(77/64)CVo

 また、V3=V4=(77/64)Voとなる。

 

15.再び電源を正電源(上側)に切り替えると、C1とC3が充電される。

f:id:Ryo9508:20200725154640p:plain このとき成立する式は、

【C1につき】
Voで充電されるのみであり、Q1=CVo

【C2、C3につき】

電荷保存則により)
Q2+Q3=(855/512)CVo+(77/64)CVo・・・(1)

(C2~D3~C3の閉回路の電圧合計は0により)
(Q2/C)+(-Q3/C)=0・・・(2)

Q2-Q3=0・・・(2)'

 

(1)+(2)'
2Q2=(1471/512)CVo
Q2=(1471/1024)CVo

Q3=Q2=(1471/1024)CVo

また、V2=V3=(1471/1024)Voとなる。

 

16.再び電源を負電源(下側)に切り替えると、C2とC4が充電される。

f:id:Ryo9508:20200725155212p:plain このとき成立する式は、

【C1、C2につき】
電荷保存則により)
Q1+Q2=CVo+(1471/1024)CVo・・・(1)

(Vo~C1~D2~C2の閉回路の電圧合計は0により)
Vo+(Q1/C)+(-Q2/C)=0・・・(2)

CVo+Q1-Q2=0・・・(2)'

(1)+(2)'
CVo+2Q1=CVo+(1471/1024)CVo
Q1=(1471/2048)CVo

Q2=CVo+Q1=(3519/2048)CVo

【C3、C4につき】

電荷保存則により)
Q3+Q4=(1471/1024)CVo+(77/64)CVo・・・(1)

(C3~D4~C4の閉回路の電圧合計は0により)
(Q3/C)+(-Q4/C)=0・・・(2)

Q3-Q4=0・・・(2)'

 (1)+(2)'
2Q3=(2703/1024)CVo
Q3=(2703/2048)CVo

Q4=Q3=(2703/2048)CVo

 また、V3=V4=(2703/2048)Voとなる。

 

17.再び電源を正電源(上側)に切り替えると、C1とC3が充電される。

f:id:Ryo9508:20200725160327p:plain このとき成立する式は、

【C1につき】
Voで充電されるのみであり、Q1=CVo

【C2、C3につき】

電荷保存則により)
Q2+Q3=(3519/2048)CVo+(2703/2048)CVo・・・(1)

(C2~D3~C3の閉回路の電圧合計は0により)
(Q2/C)+(-Q3/C)=0・・・(2)

Q2-Q3=0・・・(2)'

 

(1)+(2)'
2Q2=(6222/2048)CVo
Q2=(3111/2048)CVo

Q3=Q2=(3111/2048)CVo

また、V2=V3=(3111/2048)Voとなる。

上記の計算結果について、C1~C2の電荷をCで割ったもの(=電圧)を下表に示す。

 

スイッチ=上側
V1 V2
差分 差分
Vo 0
Vo 0 (1/2)Vo (1/2)Vo
Vo 0 (3/4)Vo (1/4)Vo
Vo 0 (15/16)Vo (3/16)Vo
Vo 0 (35/32)Vo (5/32)Vo
Vo 0 (157/128)Vo (17/128)Vo
Vo 0 (343/256)Vo (29/256)Vo
Vo 0 (1471/1024)Vo (99/1024)Vo
Vo 0 (3111/2048)Vo (169/2048)Vo

 

スイッチ=上側
V3 V4
差分 差分
0 0
(1/2)Vo (1/2)Vo 0 0
(3/4)Vo (1/4)Vo (1/4)Vo (1/4)Vo
(15/16)Vo (3/16)Vo (1/2)Vo (1/4)Vo
(35/32)Vo (5/32)Vo (23/32)Vo (7/32)Vo
(157/128)Vo (17/128)Vo (29/32)Vo (3/16)Vo
(343/256)Vo (29/256)Vo (273/256)Vo (41/256)Vo
(1471/1024)Vo (99/1024)Vo (77/64)Vo (35/256)Vo
(3111/2048)Vo (169/2048)Vo (2703/2048)Vo (239/2048)Vo

 

スイッチ=下側
V1 V2
差分 差分
0 Vo
(1/4)Vo (1/4)Vo (5/4)Vo (1/4)Vo
(3/8)Vo (1/8)Vo (11/8)Vo (1/8)Vo
(15/32)Vo (3/32)Vo (47/32)Vo (3/32)Vo
(35/64)Vo (5/64)Vo (99/64)Vo (5/64)Vo
(157/256)Vo (17/256)Vo (413/256)Vo (17/256)Vo
(343/512)Vo (29/512)Vo (855/512)Vo (29/512)Vo
(1471/2048)Vo (99/2048)Vo (3519/2048)Vo (99/2048)Vo

 

スイッチ=下側
V3 V4
差分 差分
0 0
(1/4)Vo (1/4)Vo (1/4)Vo (1/4)Vo
(1/2)Vo (1/4)Vo (1/2)Vo (1/4)Vo
(23/32)Vo (7/32)Vo (23/32)Vo (7/32)Vo
(29/32)Vo (3/16)Vo (29/32)Vo (3/16)Vo
(273/256)Vo (41/256)Vo (273/256)Vo (41/256)Vo
(77/64)Vo (35/256)Vo (77/64)Vo (35/256)Vo
(2703/2048)Vo (239/2048)Vo (2703/2048)Vo (239/2048)Vo

 

今回は、値やその差分が数列のようにはならなかった。よって、電圧の最終値を求めることができない。残念。

 

(おわり)